РЕРИХИ. БЛАВАТСКАЯ. А.А.БЕЙЛИ

суббота, 23 января 2016 г.

Математические свойства золотого сечения

$\Phi$ — иррациональное алгебраическое число, положительное решение квадратного уравнения $x^2 - x - 1 = 0$ , откуда, в частности, следуют соотношения:
$\Phi^2- \Phi= 1,$
$\Phi\cdot (\Phi - 1) = 1.$
— представляется через тригонометрические функции:
- $\Phi = 2 \cos \frac{\pi}5 = 2 \cos 36^\circ.$
- $\Phi = 2 \sin (3\pi/10) = 2 \sin 54^\circ.$

При делении пополам угла между диагональю и меньшей стороной прямоугольника с отношением сторон 1:2 по формуле тангенса половинного угла получаем соотношение

\frac 1\Phi = \varphi = \operatorname{tg} \left ( \frac {\operatorname{arctg}(2)}{2} \right ) = \frac {2}{1+\sqrt{1+2^2}} = \frac {2}{1+\sqrt5} = \frac {\sqrt5-1}{2}.

$\Phi$ представляется в виде бесконечной цепочки квадратных корней:
$\Phi = \sqrt{1 + \sqrt{1 + \sqrt{1 + \sqrt{1 + \dots}}}}.$
$\Phi\;$ представляется в виде бесконечной цепной дроби
$\Phi = 1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{1+\dots}}},$

подходящими дробями которой служат отношения последовательных чисел Фибоначчи

\frac{F_{n+1}}{F_n}

. Таким образом,

Отрезание квадрата от прямоугольника, построенного по принципу золотого сечения

Отрезав квадрат от прямоугольника, построенного по принципу золотого сечения, мы получаем новый, уменьшенный прямоугольник с тем же отношением сторон $\Phi = a/b$ , что и у исходного прямоугльника $\Phi = (a+b)/a$ .

Золотое сечение в пятиконечной звезде

В правильной пятиконечной звезде каждый отрезок делится пересекающим его отрезком в золотом сечении. На приведённом рисунке отношения красного отрезка к зелёному, зелёного к синему и синего к пурпурному равны $\Phi$ . Кроме того, отношение красного отрезка к расстоянию между соседними вершинами звезды, которое равно зелёному отрезку, также равно $\Phi$ .

Построение золотого сечения

Геометрическое построение. Золотое сечение отрезка $AB$ можно построить следующим образом: в точке $B$ восстанавливают перпендикуляр к $AB$ , откладывают на нём отрезок $BC$ , равный половине $AB$ , на отрезке $AC$ откладывают отрезок $CD$ , равный $BC$ , и наконец, на отрезке $AB$ откладывают отрезок $AE$ , равный $AD$ . Тогда

\Phi=\frac{|AB|}{|AE|}=\frac{|AE|}{|BE|}.

Другой способ построить отрезок, равный по длине числу золотого сечения

Другой способ построить отрезок, равный по длине числу золотого сечения, — нарисовать сначала квадрат ABCD со стороной 1. После этого одну из сторон, например сторону AD, разделить точкой E пополам, так что AE=DE=1/2. От точки B или C до точки E провести гипотенузу треугольника АВЕ или DCE. Согласно теореме Пифагора ВE=СE= $\frac{\sqrt5}2$ . Затем провести дугу с центром в точке Е от точки В или точки С до момента её пересечения с продолжением стороны АD (точкой пересечения дуги и продолжения стороны АD пусть будет точка Н). Как радиусы круга BE=СЕ=ЕН. Так как АН=АЕ+ЕН, результатом будет отрезок АН длиной $\Phi$ . Так как DH=EH-ED, другим результатом будет отрезок DH длиной $\varphi$ ^[17].